快乐数（happy number）有以下的特性：在给定的进位制下，该数字所有数位(digits)的平方和，得到的新数

再次求所有数位的平方和，如此重复进行，最终结果必为1。

例如，以十进位为例：

2 8 → 2^2+8^2=68 → 6^2+8^2=100 → 1^2+0^2+0^2=1

3 2 → 3^2+2^2=13 → 1^2+3^2=10 → 1^2+0^2=1

3 7 → 3^2+7^2=58 → 5^2+8^2=89 → 8^2+9^2=145 → 1^2+4^2+5^2=42 → 4^2+2^2=20 → 2^2+0^2=4 → 4^2=16 → 1^2+6^2=37……

因此28和32是快乐数，而在37的计算过程中，37重覆出现，继续计算的结果只会是上述数字的循环，不会出现1，因此37不是快乐数。

不是快乐数的数称为不快乐数（unhappy number），所有不快乐数的数位平方和计算，最後都会进入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循环中。

在十进位下，100以内的快乐数有（OEIS中的数列A00770） ：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100。

也许我们能在小于10的进位制之下发现更有趣的东西。这样数字中就不会夹着字母了。167比9的倍数大5，那么在能整除9的进制中，数字的末位是5，看上去比笨拙的7喜庆多了。（当然，这只是对我们习惯了十进制的眼睛来说的，在9进制之下5的含义和我们想象的并不一样。）在9进制中，167写作205，但是我个人更喜欢81进制中的25，它很简洁。

在不同的进位制之下研究167引出了另一个有趣的事实：167是一个严格的非回文数，也就是说它在2和165之间的任何一个进位制之下都不能被写成回文数（正着读和反着读完全一样的数字）。（我们停在165进制的原因是，它是167-2，而任何一个数字n在n-1进制之下都是回文数，看上去都是11的形式。）目前为止，我们还不知道严格非回文数的数目，不过167的下一个非回文数是179，再下一个是223。

上面列出来的这些特征，完全足以证明举办一个庆典的必要性，除此之外，167还是一个安全素数，一个非常cototient质数，一个全循环质数。我特别喜欢最后一个：这意味着存在一个166位的数字，它的每个倍数都是数字的循环排列。也就是说，当你把这个数乘上一个整数之后，得到的积恰好是原来的数的数字，排列顺序相同，但是起点不同，例如142857×2=285714。